2023年投资分析模型专题 因子模型、机器学习和资产定价

一、因子模型、机器学习和资产定价

因子模型是用于对股权回报建模的工具，因为它们提供了对回报的截面相关性结构的一 个简约的统计描述。因子模型是从早期的资产定价理论演变而来的，最著名的是 Sharpe 的 CAPM（1964）和 Merton 的 ICAPM（1973）。这些和其他开创性因素模型使用可观察 到的金融和宏观经济变量作为由经济理论驱动的风险因子。

Ross（1976）的套利定价理论（APT）后来通过无套利条件，提供了回报因子结构和风 险溢价之间严格的经济联系。APT 的一个重要创新是能够直接谈论基本的经济概念，如 风险暴露和风险溢价，而不需要对这些因子进行经济解释。APT 对共同因子结构的关注 （可以由任何类型的因素表示，无论是可观察的还是不可观察的，交易的或非交易的） 引发了一系列调查，主要是统计导向的回报模型。因此，因子模型已成为学者和从业者 最广泛采用的单一实证研究范式。特别是，APT 为回报打开了进入潜在因子模型的大门。 APT 和潜在因子模型与无监督和半监督的机器学习密切相关，可以被视为实证资产定价 中机器学习方法革命的催化剂。

（一）模型设定

1、静态因子模型。静态因子模型可以写成： 其中是 × 1的向量，表示测试资产（例如规模和价值的双重分类投资组合）相对于无 风险利率的超额回报，是 × 的因子暴露矩阵，是 × 1的因子新息向量（均值为零）， 是 × 1的异质误差向量。 预期收益率总是可以被分解为： 其中是 × 1维的风险溢价向量，是 × 1维的定价误差向量。这个公式总是成立的， 因为右边的自由度比左边多，但是 Ross（1976）提出的资产定价理论（APT）以及 Huberman （1982）、Ingersoll（1984）和 Chamberlain＆Rothschild（1983）的后续研究预测，当增 加时，无渐近套利意味着 ∑ −1 < ∞，其中∑ 是的协方差矩阵。

2、条件因子模型。有人可能会认为公式（1）中的静态模型适用于某些资产组合（尽管即使在这种情况下， 静态假设也是可疑的），但它显然不适用于大多数单个资产。然而，重要的是，模型能够 描述单个资产的行为，而不仅仅是分类组合，以更全面地了解资产市场中的各种异质性。 一旦我们开始考虑单个资产，条件模型的设定就变得至关重要。例如，单个股票的风险 暴露很可能随着公司的发展而随时间变化。此外，具有固定到期日和非线性支付结构（例 如债券和期权）的资产在其到期日滚续或基础资产价值变化时会经历风险敞口的机制变 化。在这种情况下，因子模型应该适应时间变化的条件风险暴露。

（二）方法论

传统的资产定价模型的统计推断方法是针对低维情况设计的。最近，与股票回报相关的 解释变量的数量迅速增加（Harvey et al. 2016），研究人员开始使用单个证券作为测试资 产（Kelly et al. 2019）。随着因子和测试资产的规模变大，高维统计方法在实证资产定价 分析中变得越来越重要。我们的梳理涵盖了经典方法，但特别强调针对高维设定设计的 统计方法。

1、测度预期收益。股票回报预测的实证文献有三个基本方向。第一个将股票间预期回报差异建模为少量股 票特征的函数，代表性文献为 Fama＆French（2008）和 Lewellen（2015）。它通常通过 未来回报在滞后股票特征上的横截面回归方法进行估计。第二个方向通过对一小部分预 测变量进行投资组合回报的时间序列回归来估计预期回报（Welch＆Goyal 2007、Koijen ＆Nieuwerburgh 2011、Rapach＆Zhou 2013 的综述）。

近年来，机器学习方法的发展催生出股票收益预测的第三种方法。这些方法侧重于变量 选择和降维技术，使其很适合处理大量预测变量的挑战。机器学习方法可以帮助减少自 由度并压缩预测变量之间的冗余变化。这一方法的第一波高维模型采用了线性方法，如 部分最小二乘法（PLS），例如 Kelly and Pruitt（2013）以及 Rapach et al.（2013）的研究， 以及岭方法，如 Chinco et al.（2017）和 Freyberger et al.（2020）的研究。

最近，Gu et al.（2020）对机器学习方法进行了广泛的回报预测分析，不仅考虑了正则化 线性方法，还包括更尖端的非线性方法，如随机森林、提升回归树和深度学习。他们的 研究表明，在估计预期回报时，引入机器学习可以实现显著的收益。这意味着在样本外 的预测 2方面有所提高，同时对于利用机器学习预测的投资策略也有大量的收益。经验 分析还确定了最有信息量的预测变量，这有助于更深入地研究资产定价的经济机制。

机器学习还可以利用复杂和非结构化的数据集提高预期收益估计。例如，Ke et al. (2019) 提出了一种新的监督式主题模型，用于从原始新闻文本构建收益预测，并证明其在样本 外预测方面的能力。Jiang et al. (2021) and Obaid & Pukthuanthong (2021)利用计算机视觉 文献中的机器学习模型，演示如何利用图像数据中的回报预测信息。文本和图像数据在 短期（几天或几周）内提供了特别强的回报预测收益，并且很可能是由相对快速的市场 情绪驱动力量所支持，而非在几个季度或数年的预测期内起主导作用的基本信息。实际 上，情绪及其相关的行为经济驱动因素正在成为金融市场研究的核心内容。因此，它们 是机器学习方法的肥沃土壤，这些方法通过利用丰富而难以管理的数据集来捕捉近似的 复杂非线性关联。

2、估计因子和风险暴露。 因子模型将资产的总方差分解为由因子协方差驱动的系统风险成分和资产特有的成分。 有许多因子建模策略可用，它们在关于因子及其敞口是否被认为已知以及模型是否使用 有条件或无条件风险分解方面存在不同假设。 时间序列回归（TSR）和截面回归（CSR）。考虑给定的静态因子模型，如果因子已知， 我们可以通过资产逐个进行时间序列回归（T 系统性风险）来估计因子敞口。

（三）渐近理论

在文献中，出现了三种主要的渐近方案来表征因子模型、风险溢价和阿尔法的统计特性。 传统的推断依赖于通常的大 T 固定 N 的渐近性。这仍然是资产定价中最常见的设置。第 二种方案允许 N 和 T 同时无限增长（有一些速率限制）。第三种方案采用大N固定 T的 设计。在进行推断时，应该考虑每种方案的优缺点。我们将通过下面的几个例子来说明 这一点。

二、主动贝塔对冲基金管理

（一）引言及相关文献

1、引言。 对冲基金研究人员通常将阿尔法视为基金表现的代理，而阿尔法则是资产定价模型规定 的回归中的常数，是由于主动投资组合管理而产生的表现。阿尔法是无法通过模型解释 的基金表现，因此，正的阿尔法是相对于因子收益而言卓越表现的代理。阿尔法已经牢 固地树立在普通投资词汇中，被认为是一种复杂的表现度量；基金经理、投资顾问和投 资者都在“寻求阿尔法”。

然而，值得质疑的是，阿尔法是否可靠地涵盖了有关对冲基金表现的所有相关信息。现 有文献记录了相对较少的基金产生显著的阿尔法。相反，基金展现了系统性风险（SR） 因素的暴露，因此回报是由主动贝塔（BA）驱动的。然而，文献中对主动贝塔在风险调 整基础上的效果存在分歧。例如，Titman and Tiu（2011）认为，成功的管理者对冲了系 统性风险的暴露，因此在多因子回归中表现出低 2。相反，Bali, Brown, and Caglayan (2012) 发现，更多暴露于系统性风险的对冲基金表现出更高的风险调整业绩。因此，投资者更 好地了解贝塔管理的性质以及阿尔法的产生是非常重要的。

本文考虑两种风格的主动投资组合管理：“主动阿尔法”和“主动贝塔”。我们将主动阿 尔法定义为最终没有反映在因子暴露中的收益。主动阿尔法传统上是由一个合适的因子 模型回归的阿尔法系数来确定的。我们将主动贝塔定义为采取与宏观经济风险因素相关 的方向性头寸。主动管理者的时变赌注通过随着时间的变化而改变因子暴露（贝塔系数） 来揭示。即使在没有短期阿尔法生产的情况下，如果主动贝塔的经理执行与最有利可图 的因子相关的策略，他们也有可能提供更好的回报。我们构建了一个主动贝塔的测量方 法，它捕获了同期的管理成功和因子载荷的动态变化。

2、相关文献。主动阿尔法，传统上被称为“积极管理”，通常由资产定价模型回归中的低 2来确定。如 果一个经理是有经验的，阿尔法应该为正且显著，反映了比被动持有因子模拟投资组合 的优越回报。然而，阿尔法只是基金表现的相对衡量标准，因为它对基准因子设定很敏 感（Roll（1978））。此外，阿尔法提供了对市场择时策略成功的有偏估计（Jensen（1972））。 这些缺点导致了用于确定管理活动和评价业绩的替代方法的发展。

本文的方法扩展了三方面的文献。在识别阿尔法和主动贝塔之间的差异时，我们从概念 上借鉴了业绩归因文献，这些文献试图将股票选择与主动择时分开。我们对主动贝塔的 关注与市场择时文献相呼应，即认识到因子暴露中反映的主动基金的重要性。最后，我 们测试了主动贝塔指标预测未来对冲基金业绩的能力，从而促使最近文献寻求开发预测 未来业绩的替代方法。

从业绩归因的角度来看，本文最接近于 Daniel et al.（1997），他们对基于股票特征的基准 投资组合使用了回归归因分析。作者通过采用平均风格（AS）、特征择时（CT）和特征 选择（CS）度量，分别并捕捉了管理者的相对于基准投资组合的证券选择和市场择时的 影响。虽然 CT 测量以一种类似于本文中的贝塔回报（FDBR）测量的方式量化市场择时活动，但它依赖于与特定共同基金资产持有相匹配的投资组合资产权重和风格基准。相 比之下，FDBR 是由反映对冲基金投资机会集的基准投资组合上的时变贝塔系数构建的。

从市场择时的角度来看，关于共同基金的市场择时安排的研究越来越多，最近，随着数 据的出现，对冲基金的研究也越来越多。大多数共同基金研究得出的结论是，几乎没有 证据表明共同基金经理成功把握市场择时。另一方面，根据对冲基金经理所提供的广泛 和动态策略，他们获得了巨大的市场时机选择成功。然而，这些策略涉及显著的因子风 险。例如，Bali et al. (2012) 得出结论，系统性风险是对冲基金回报的有力预测，这一发 现与主动贝塔的管理技能相一致。我们发现，主动贝塔对对冲基金的表现具有强烈的预 测作用，这与 Bali et al. (2012)的结论一致。

从业绩预测的角度来看，Titman and Tiu (2011) 测试了对可识别因子投资组合暴露较少的 对冲基金是否表现更好。利用广泛的风险因子的逐步回归分析和 Fung and Hsieh (2004) 的七因子模型，作者发现 2较低的基金在相对和风险调整的基础上都表现更好。另一方 面，Bali et al. (2012) 发现，对冲基金采取更高的系统性风险，定义为基金总风险减去因 子回归的特殊风险之差，显示出更好的风险调整后的未来表现。他们推测，系统性风险 的预测能力来自于对冲基金检测金融市场变化的能力，以及它们根据金融和经济状况的 这些变化及时调整头寸的能力。这与本文的发现相一致，即总体主动贝塔可以强烈地预 测业绩。

（二）数据描述

本文使用彭博的 1994-2013 年期间的对冲基金数据。对冲基金自愿报告数据；然而，彭 博要求所有报告基金报告自成立以来的所有业绩。为了尽量减少幸存者偏见，样本包括 1994 年至 2013 年报告的所有基金，包括那些被收购、清算或选择停止报告的基金。我 们通过消除前 24 个月的报告回报，部分抵消了回填偏差的影响。3经过回填偏差调整后， 我们的样本中有 11,769 个不同的对冲基金。由于我们需要 4 年的数据来计算主动贝塔的 衡量标准，这进一步将资金的数量减少到 3,960 只。最后，在 3960 只基金中，样本包括 1814 只存续基金和 2146 只已倒闭的基金。

面板 A 报告了基金回报率、费用、投资者流动性指标和基金寿命的摘要统计数 据。由于中位数更能描述我们数据库中的典型基金，因此我们发现代表性基金管理资产 7300 万美元，管理费为 1.5％，对投资者高于水位线以上的所有利润收取 20％的激励费 用，最低初始投资额为 25 万美元，赎回期为 30 天。4与预期一样，活跃基金显示出比倒 闭基金更高的月度超额回报率、资产管理规模和更长的寿命。然而，有趣的是，倒闭基 金具有更长的赎回期和锁定期。面板 B 和面板 C 分别报告了具有某些特征和声明 风格的基金百分比。所有基金中 85％具有高水线条款，尽管只有 4％允许高水线之外的 基准回报率。32％的基金不是美国设立的。最常见的声明风格是多头对冲股权，占所有 基金的 30％，而股东行动主义则是最不常见的风格，占对冲基金的 0.2％。

（三）研究方法及实证结果

1、基准模型。本研究中使用的基准模型是基于 Fung and Hsieh (2004)的模型进行修改，并加入可交易组 合因子。其中，表示基金的月度收益，是以美国 30 天国债回报率代表的无风险利率。SP500代表标准普尔 500 指数的回报率减去无风险利率，是市场风险溢价的代理变量。EM 是 MSCI 新兴市场指数的回报率减去无风险利率。10_YEAR 是 10 年期美国国债的月度超额 回报，由 CRSP 提供的 10 年期美国国债组合回报率减去无风险利率得到。SIZE_SPREAD 是基于股票的风险因子，是罗素 2000 指数回报率减去标准普尔 500 指数回报率。 CREDIT_SPREAD 是基于固定收益的风险因子，计算方法为 Citi BBB 企业债指数总回报 率减去 CRSP 的美国国债组合总回报率。两个组合均由 10 年或更长期限的债券组成。 BOND_TREND、COM_TREND 和 FX_TREND 是趋势跟随因子的超额回报，构建方式是 期货合约的回溯平值线。因此，所有因子都是套利（零成本）组合。

为了量化贝塔主动管理的动态特性并确定贝塔主动管理者，我们使用模型（M）构建短 期滚动窗口回归指标。我们考虑滚动 2 年的窗口，每年在 1996 年至 2013 年的整个样本 期内进行滚动。然后我们对每个 2 年窗口运行单个基金回归（M）。短期窗口估计的阿 尔法和贝塔系数、标准误差、调整后的 2以及 = 2 − , 2 等指标随后用于构建主动 贝塔的度量。

2、主动贝塔管理的测度。主动贝塔管理是试图采取与未来产生最高绝对回报的因素相关的持仓。换句话说，我们 希望识别哪些经理知道要拉动哪些因子相关杠杆，何时以及以何种力度拉动它们。因此， 主动贝塔管理的有效性取决于因子贝塔的选择，持仓时间和这些因子的回报。首先，我 们引入两个变量，以捕捉基本模型（M）中所有因子不同方面的主动贝塔。规模贝塔成 功（SBS）测量当期成功，而贝塔回报差异（DBR）捕捉因子择时的动态效应。然后， 我们引入单个变量 SBS 和 DBR 的平均等权平均值作为主动贝塔的综合度量。

（1）量化贝塔成功：SBS 我们创建了一个当期贝塔表现的测度，即 SBS，它捕捉了基金经理当前因子暴露相对于 最佳和最差表现因子的表现。我们首先计算基金的贝塔回报，即从方程（M）中观察到 的因子暴露的加权平均因子回报。这等于观察到的平均超额回报减去观察到的阿尔法 （M）。然后，我们将基金的组合贝塔回报与前两个 24 个月窗口和 − 1中最大和最 小平均因子回报进行基准化： 其中,为窗口中基金的因子暴露向量；̅为窗口中的平均因子回报向量； {̅, } 和 {̅, }分别是窗口的八因子投资组合中最低和最高的平均月回报。 SBS 是一种衡量当期表现的指标。因此，我们需要另一种方法来衡量主动贝塔的动态性， 即持仓变化，以便更好地区分有投资水平的风险承担和运气。因此，我们引入另一个变 量，DBR，来捕捉贝塔主动管理的动态方面。

（2）贝塔回报的差异：DBR 为了衡量主动基金经理在总体因子配置上及时做出战略性变化的相对成功程度，我们将 2 年窗口实现的贝塔回报与前向和后向的假设合成贝塔回报进行比较。这使我们能够量 化经理们对不断变化的经济条件的预测和反应能力。在向前看的情况下，我们考虑实现贝塔回报与向前合成贝塔回报之间的差异，即如果经 理没有从前一个 2 年窗口改变策略，他将实现的贝塔回报。

具体来说，我们将前一个 2 年窗口的贝塔系数继续使用，并将其乘以当前窗口的因子回报，最后平均这些回报，以 创建合成的“如果”回报。基金实现回报与向前合成回报之间的“差距”为 FDBR，因 此： 其中，,是窗口中基金的因子载荷向量，̅是窗口中平均因子回报的向量。请注意， 在方程（2）的求和符号内部的第二项利用了前一个窗口（ − 1）回归的贝塔系数向量， 乘以窗口中当前因子回报平均值的向量。

考虑到经济状况可能持续数年，如果我们仅依靠 FDBR 来确定具有水平的策略改变者， 我们将高估那些仅仅追随趋势的管理者的技能。因此，我们希望找到那些能够预测经济 状况变化并对组合配置进行战略性改变的管理者，而不考虑过去的趋势。因此，我们也 向后看，以建立当前和过去贝塔策略与过去因子表现之间的关系。我们再次创建一个合 成回报，这次是反向的，通过将当前 2 年窗口的向后贝塔系数进行回溯，并将其乘以前 一个窗口的因子回报率，最终将其平均到一个向后的合成回报中。我们计算反向贝塔回 报的差异（RDBR），即与之前的方程（2）中一样，其中,是窗口中基金的因子暴露向量，̅是窗口中平 均因子回报的向量。

RDBR 衡量了前一个窗口的实现贝塔表现与合成过去贝塔回报之间 的差距。虽然 FDBR 显示出与不做出任何改变的策略相比的改进，但 RDBR 同时捕捉了 管理人员选择贝塔的能力以及他们是否有远见，能够改变贝塔以偏离以往的趋势，即不 “复制今天的昨天成功的策略”。实际上，如果管理人员采用在过去效果最好的贝塔， 这将导致最大可能的, ′ ̅−1，降低RDBR的值。然而，如果管理人员以有预见性的方 式选择贝塔，则其当代贝塔回报−1, ′ ̅−1将很高，而向后看假设回报, ′ ̅−1将很低， 从而产生高的 RDBR 值。

最后，由于 FDBR和 RDBR分别捕捉了主动管理的互补时间变化方面，我们对归一化的 FDBR 和 RDBR取平均，创建一个结合了前瞻性和后瞻性的变量 DBR，如下所示： 我们现在有两个主动贝塔变量，一个捕捉因子择时（DBR），另一个捕捉当期因子驱动 绩效（SBS）。

3、统计总结。呈现了 SBS、FDBR、RDBR 和 DBR 的汇总统计数据和两两之间的相关性。 与我们对这些变量捕捉整体主动贝塔不同方面的解释相一致，我们观察到这些变量之间 的相关性相对较低。最高的相关性是 FDBR 和 DBR 之间的（0.37）以及 RDBR 和 DBR之间的（0.28），这并不奇怪，因为 FDBR 和 RDBR 是 DBR 的基础。

4、BA：一个组合测度。我们将探讨 FDBR 和 RDBR 是否捕捉到了 BA 的不同方面，以及是否需要使用组合指标 DBR，同时也会考虑到(1-SBS)和 DBR 是否有类似的作用。我们将通过两种方式创建组 合，以分离每个变量的贡献。第一种方式是根据单个变量对所有基金进行排序，保留处 于顶部四分之一的基金样本，然后排除同时位于第二个变量的顶部四分之一的基金，从 而创建独立组合。另一种方式是重新对子样本进行排名，根据第二个变量进行排序，排 除结果子样本的顶部四分之一，从而双重排序组合。

需要注意的是，尽管 SBS 和 DBR 都指出了成功的贝塔管理的可能性，但每个变量单独 都不能被明确地解释为技能的直接证据。基于（1−SBS）或 DBR 预测的成功也可以被解 释为技能或仅仅是运气的证据。同时考虑这些变量，我们可以同时捕获反映在（1−SBS） 和 DBR 中的 BA 的不同方面，同时减少反映随机运气的可能性，因为管理者不太可能在 这两个变量中都是幸运的。因此，我们将 BA 的总体度量定义为归一化 DBR 和（1−SBS） 的等加权平均值： 综上所述，BA 是一个更全面的主动贝塔度量，因为 SBS 和 DBR 捕获了主动贝塔的不同方面。SBS 是一种以外部因素作为基准的同时度量，而 DBR 则捕获所有因素的总体 BA 的时变方面，对其过去和现在的测试进行基准。

（四）主动阿尔法和主动贝塔的比较

面板 A 呈现了根据 BA 选择组合的样本外表现结果。我们创建了按照 BA 排名的 基金的头四分位和尾四分位组合。我们观察到，头部 BA 组合明显优于底部组合，同时 提供更高的长期回报率、阿尔法和夏普比率以及信息比率。主动贝塔的“头尾差”套利 组合保留了经济上重要且具有统计显著性的阿尔法。 我们首先将面板 A 中根据主动贝塔组合形成的样本外表现与 B 面板中传统的阿尔法主动 管理措施，即阿尔法和阿尔法 t 统计量组合形成的样本外表现进行比较。我们观察到， 顶部主动贝塔组合在总体回报率、夏普比率和 Fung and Hsieh (2004) 阿尔法方面都优于 顶部阿尔法和阿尔法 t 统计量组合，这表明 BA 测度比主动阿尔法更具预测能力。

我们发现主动贝塔与阿尔法指标之间的相关性非常低，分别为 0.03 和 0.001，而且头部 阿尔法和贝塔组合的回报序列明显不同。展示了头部主动贝塔、阿尔法和阿尔法 t 统计组合的累计回报情况。面板 B 套利组合的头部主动贝塔、阿 尔法和阿尔法 t 统计组合之间累计回报的时间序列差异。注意，在 2005 年中期到 2007 年中期之间，主动贝塔组合表现不及阿尔法组合，在本研究期间最明显的宏观经济转变 之前的这个时期。考虑到时间，一个合理的推断是，在 2008-2009 年金融危机之前，顶 级贝塔主动管理者预见到了即将到来的经济情况的变化，因此重新分配了组合。

因此， 相对于阿尔法组合，在实际情况发生之前，贝塔主动组合的表现可能会下降。即使最有 技能的管理者也没有完美的择时预测能力，因此在经济条件发生变化之前的预期时期， 相对贝塔表现可能会低。然而，随着条件的变化，顶级贝塔主动管理者的投注变得非常 盈利，因此贝塔和阿尔法的累计组合回报差异显著增加。总体而言，我们解释这是证据 表明，头部主动贝塔基金在长期表现上优于头部主动阿尔法基金，并且在短期表现方面 经常比头部主动阿尔法基金表现得更好。然而，相对于主动阿尔法基金，主动贝塔基金 的淘汰率更高。

编辑：荣耀2020