2025年“学海拾珠”系列之二百六十：基于组合波动率与峰度的资产配置模型

引言

自 20 世纪 50 年代马科维茨（Markowitz，1952 年、1959 年）提出均值-方差 优化（MVO）模型以来，在构建投资组合时，投资组合回报的标准差（即波动率） 一直被用作衡量投资风险的主要指标。然而，随着时间的推移，人们逐渐认识到仅用 二阶矩来定义风险存在诸多弊端。这些弊端源于两个不同层面的考量。 一方面，投资组合回报（及其组成资产回报）的分布具有一些与高阶矩相关的额 外特性，这使得不能再局限于正态分布假设。实证金融文献充分证明，资产回报呈 现出偏态性，更重要的是，当以较高频率采样回报时，资产回报会表现出过度峰态 （Harvey & Siddique，1999；Jondeau & Rockinger，2006；Longin，1996；Mills， 1995；Muralidhar，1993）。因此，在构建投资组合的框架中不考虑高阶矩，就意味 着忽略了不对称性和尾部风险。 另一方面，如均值-方差优化模型那样，仅参考回报分布的前两阶矩来刻画投资 者偏好，可能过于简化。换句话说，投资者会关注回报分布的高阶矩。Scott 和 Horvath （1980）的研究强调，投资者偏好正偏态，并且愿意接受较低的预期回报以保持较 高的偏态性。其他研究（Kane，1982；Mitton & Vorkink，2007）表明，投资者可能 为了获得更高的偏态敞口而持有未充分分散的投资组合。至于峰态，根据 Scott 和Horvath（1980）的观点，投资者通常对其持拒绝、恐惧的态度。Kimball（1990 年、 1993 年）认为，在财富预期效用框架下，对峰态的厌恶要求四阶导数为负。这一观 点基于“节制”的概念，即投资者是一个节制的人。这种特性会影响其投资/储蓄决 策（Ebert，2013；Gollier & Pratt，1996；Haas，2007；Keenan & Snow，2018）。 当财富减少时，节制的投资者在遭遇不可避免的风险（例如劳动风险、纯粹的保险风 险，即使这两种风险在统计上相互独立）时，会在投资风险资产时更加克制。除了基 于效用的论点外，Dittmar（2002）还强调了一个直观的理由来表明投资者对峰态的 明显厌恶，可概括如下：由于峰态反映了与均值显著不同的结果（回报）的概率和幅 度，典型的投资者对极端结果敏感甚至恐惧，因此往往厌恶峰态。

考虑除投资组合标准差或方差之外的其他风险衡量指标的需求，已渗透到资产 配置的各类方法中。文献中的多个分支在定义投资组合的资产配置策略时考虑了高 阶矩。一些研究将均值-方差框架扩展到包含投资组合的高阶矩。例如，Kim 等人 （2014）提出了一种方法，可以在均值-方差框架内控制高阶矩，而无需在公式中直 接引入高阶矩；Kan 和 Lassance（2023）推导出了当资产回报分布为椭圆分布时， 样本均值-方差投资组合与无风险资产的最优比例。在这方面，Schuhmacher 等人 （2021）证明，与峰态不同，偏态性并不否定均值-方差分析。 另一条研究路线包含了一些旨在研究能够衡量极端风险策略的成果，这些极端 风险在标准预期效用框架内难以体现。其中，Briec 等人（2007 年）将代表投资者 选择的函数（即所谓的短缺函数）扩展到均值-方差-偏态空间，以考虑投资者对正偏 态的偏好；而 Lassance（2022 年）通过在有效前沿上的所有投资组合中，找出优 化所选高阶矩准则的投资组合，使均值-方差投资组合理论与非高斯回报相协调。类 似地，Lassance 和 Vrins（2021 年）利用扩展的 Kullback-Leibler 散度，衡量投资 组合回报与表达投资者偏好的目标回报密度之间的差异，从而改进了均值-方差有效 投资组合的高阶矩。最后，Fallahgoul 等人（2024 年）提出使用高阶 L 矩，与标准 矩不同，它是数据的线性函数，因此可以在小样本中进行稳健估计。

其他研究表明，具有高阶矩偏好的投资者通常最好在均值-方差有效前沿上选择 投资组合，因为样本内的机会成本较小，样本外的机会成本通常为负。例如，Levy 和 Markowitz（1979 年）以及 Markowitz（2014 年）断言，均值-方差有效前沿上的 投资组合能够使多种凹性（风险厌恶）效用函数的预期效用最大化，这些效用函数并 不局限于二次函数，即不局限于高斯回报。Khashanah 等人（2022 年）的研究结果 表明，排除高阶协矩会提高投资组合的样本外表现，而 Simaan（1993 年）证明， 当投资者的机会集包含无风险资产时，无论其风险厌恶程度如何，其机会成本都可 忽略不计；而在没有无风险资产的情况下，机会成本会随着其风险厌恶程度的增加 而上升。最后，Lassance（2022 年）也持有类似观点。此外，其他论文还面临着一 个问题，即寻找策略来降低因在非高斯回报的模型设定中纳入投资组合高阶矩而产 生的估计风险。例如，与 Ledoit 和 Wolf（2003 年）的研究一致，Martellini 和 Ziemann （2010 年）提出了一种收缩方法，以改进对投资组合协偏态和峰态的估计；Boudt 等人（2020 年）提出了一种改进的偏态收缩估计量；而 Lassance 和 Vrins（2021 年）则建议通过最小化 Renvy 熵（一种能更好反映回报分布所传达的“随机性”的 度量指标），来选择通过 Gram-Charlier 展开建模以考虑其高阶矩的投资组合。 本文考虑了基于风险的资产配置方法。基于风险的方法是一种投资组合构建方 法，它不依赖于投资领域中资产预期回报的输入，而仅使用风险信息，因为预期回 报被普遍认为是输入中估计风险最高的一种（Best & Grauer，1991 年；Chopra & Ziemba，2013 年；Scherer，2007 年）。这些方法也经常被称为无预期回报（?-free）策略（Braga，2015 年；Jurczenko 等人，2015 年）。这些方法包括受 Haugen 和 Baker（1991 年）启发并在多项研究中采用的最小方差策略（Clarke 等人，2006 年； Jagannathan & Ma，2003 年；Maillet 等人，2015 年；Scherer，2011 年），该策略 推荐有效前沿上的起始投资组合；传统的风险平价策略，该策略首先由 Maillard 等 人（2010 年）和 Roncalli（2013 年）阐述，并接受了 Qian（2011 年）提出的风险 分散/传播理念，建议将使不同资产类别的风险贡献相等的投资组合作为理想的资产 配置解决方案；最大分散化投资组合策略（???策略），该策略返回使分散化比率最 大化的投资组合（Choueifaty & Coignard，2008 年；Choueifaty 等人，2013 年）； 以及对于许多人来说，尽管完全无模型这一特性引发了一些质疑，但等权重策略（?? 策略）简单地按照“1/?”规则确定资产配置解决方案。

最初，所有提到的基于风险的组合构建方法，就像最小方差策略一样，都以投资 组合波动率作为参考风险度量指标，但最近，受上述考虑的启发，Braga 等人（2023a 年、2023b 年）超越了这一范畴，引入了基于峰态的风险平价策略和最小峰态策略。 顾名思义，对现有方法的扩展旨在，在前者情况下，确定一种资产配置方式，使资产 类别对投资组合峰态的“责任”实现均匀分布；在后者情况下，寻求峰态尽可能低的 投资组合。可以理解的是，在这些研究中，使用了投资组合四阶矩的四次方根作为投 资组合峰态的代理变量，以便使用一次齐次函数并确保欧拉定理的适用性。 尽管如此，本文旨在在理论和方法层面为基于风险的资产配置方法框架向前推 进两步做出贡献。作为第一项贡献，采用了一个更新颖且更灵活的目标风险函数，该 函数考虑了投资组合波动率和峰态（投资组合四阶矩的四次方根）的凸线性组合，可 将其作为风险最小化目标，或作为齐次风险分配目标。因此，新颖之处在于，将典型 的基于风险的方法目标扩展至混合风险度量，依托投资组合分布的两种不同离散度 量指标：波动率和基于投资组合四阶矩的更高阶离散矩。可以证明，这种新颖的混合 风险度量符合 Rockafellar 等人（2006 年）提出的偏差风险度量定义。为了说明采 用这种风险度量的依据，值得回顾的是，波动率和峰态均体现了不确定性，可理解为 回报围绕均值的离散程度，而且二者都遵循对称框架，并考虑了整个回报分布；但二 者也存在差异，前者（投资组合波动率）捕捉的是回报的“正常”/“普通”离散程 度，而后者（投资组合峰态）则能够捕捉回报的巨大离散程度。因此，这种结合了 两种针对同一现象但对其强度敏感度不同的单一度量的综合风险指标，使资产管理 者能够通过改变与各单一度量相关的“相关系数”，在目标函数的框架内，为投资组 合构建过程表达一套合理的投资目标。

数据与样本内分析

本研究考虑的金融数据集包含七个股票指数，覆盖时间从 2002 年 7 月至 2022 年 6 月，总计长达 20 年。所选指数来自摩根士丹利资本国际公司（MSCI），被认为 能够有效代表全球股票投资组合管理者的投资范围。包括的指数有：MSCI EMU、 MSCI UK、MSCI USA、MSCI CANADA、MSCI JAPAN、MSCI PACIFIC EX-JAPAN 和 MSCI EMERGING MARKETS。采用总回报版本，并以欧元计价。所有基于风险 的策略均首先使用所选指数的月度回报进行实证检验，然后再使用周度回报。